TEMA 5. ECUACIONES y SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO

1. ECUACIÓN
Se llama ecuación a toda igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que sólo se verifica o es verdadedra para determinados valores de las incógnitas.
Ejemplo: 2x+1=x+4 solo es válida para el valor x=3
Elementos de una ecuación.

• Incógnitas: Son las letras que representan números desconocidos en una ecuación.
• Primer miembro de una ecuación o de una identidad a la expresión que queda a la izquierda del signo de igualdad.
• Segundo miembro de una ecuación o de una identidad es la expresión que queda a la derecha del signo de igualdad.
• Grado, de una ecuación es el mayor de los grados de los monomios que contiene.
• Raíces o soluciones de una ecución son los valores de las incógnitas que verifican o satisfacen la ecuación, es decir, que sustituidos en lugar de las incógnitas, convierten la ecuación en identidad. 

2.ECUACIÓN DE PRIMER GRADO
Para resolver ecuaciones de primer grado sencillas, es decir para encontrar la solución, se realizan los siguientes pasos:
PASO1:
Se colocan todos los términos que llevan incógnita en el primer miembro y todos los términos independientes en el segundo miembro, teniendo en cuenta que cuando un término cambia de miembro también cambia de signo.
PASO2:
Se agrupan los términos semejantes, es decir se agrupan todos los términos con incógnita del primer miembro por un lado y todos los términos independientes del segundo miembro por otro lado.
PASO3:
Si la incógnita lleva coeficiente, se pasa al segundo miembro dividiendo, si la división no sale exacta se puede dejar el resultado en forma de fracción.
Ejemplo:
Resolver la ecuación 5x+6-4x=-4+3x-8
         1º      5x-4x-3x=-6-4-8
         2º      -2x = -18
         3º         x=-18/(-2)= 9         La solución es x=9

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CON PARÉNTESIS:  Aplicamos la propiedad distributiva y quitamos los paréntesis. Obtenemos una ecuación de primer grado y procedemos como en el apartado anterior.
Ejercicios resueltos. 

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CON PARÉNTESIS Y DENOMINADORES:
Ejercicios resueltos.

PROBLEMAS CON ECUACIONES DE PRIMER GRADO.
Para resolver los problemas de ecuaciones de primer grado, debemos de seguir los siguientes pasos:

1º	Identificar la variable
2º	Plantear la ecuación.
3º	Resolver la ecuación.
4º	Comprobar el resultado.

Problemas de números.Ejercicios resueltos.
Problemas de geometría.Ejercicios resueltos.
Problemas de edades.Ejercicios resueltos.

Ejercicios repaso

3. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Una ecuación de segundo grado es aquella que puede reducirse a la forma  

donde no se anula a.

Si observamos los coeficientes b y c, las podemos clasificar en incompletas si se anula b o c, o completas si no se anula ninguno de los coeficientes.

Número de soluciones

Solucionar una ecuación de segundo grado consiste en averiguar qué valor o valores al ser sustituidos por la indeterminada convierten la ecuación en una identidad.

Ecuación de segundo grado completa

Una ecuación de segundo grado se dice completa si a , b y c son todos no nulos.
Para resolver estas ecuaciones aplicamos la fórmula 

Ejemplo:

Ecuación de segundo grado incompleta

 cuando b=0: se resuelve despejando la variable x

Ejemplo:

 cuando c=0: se resuelve sacando factor común x

Ejemplo:

Ejercicios ecuaciones de segundo grado con solución
Ejercicios repaso

4. SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS

Tenemos cuatro métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas.
1. MÉTODO GRÁFICO

2.MÉTODO DE SUSTITUCIÓN.

1. Se despeja una incógnita de una ecuación (la que te parezca más fácil de despejar) 
2. Se sustituye en la otra ecuación, quedando una ecuación de primer grado. 
3. Se resuelve la ecuación. 
4. El valor obtenido para la incógnita lo sustituyes en una de las ecuaciones y operando sacas la 
otra. 

Este método resulta fácil de aplicar cuando una de las incógnitas tiene coeficiente igual a uno o 
cuando una de las incógnitas te la dan ya despejada. 
Ejemplo 1 

1º Despejo por ejemplo la x de la primera ecuación: x = 2 – y 
2º Sustituyo 2(2 - y) + y = 5 
3º Resuelvo la ecuación 4 - 2y + y = 5 
-y = 5 – 4 
 y = -1 
4º Sustituyo el valor obtenido en una ecuación x + (-1) = 2 
 x -1 = 2 
 x = 3 
O bien sustituyes en la ecuación del primer paso x = 2 – (-1) 
 x = 3 
Si quieres comprobar que la solución es correcta la sustituyes en las ecuaciones iniciales: 
3-1 = 2 , 2 = 2 es correcto 
2·3-1 = 5 , 6-1 = 5, 5 = 5 es correcto. 
Gráficamente las dos rectas se cortan


3.MÉTODO DE IGUALACIÓN.

1. Se despeja la misma incógnita de las dos ecuaciones (la que te parezca más fácil de despejar) 
2. Se igualan las expresiones quedando una ecuación con una incógnita 
3. Se resuelve la ecuación. 
4. El valor obtenido para la incógnita lo sustituyes en una de las ecuaciones y operando sacas la 
otra. También se puede sustituir en una de las dos ecuaciones obtenidas en el punto 1. 

4.MÉTODO DE REDUCCIÓN.

Antes de desarrollar este método recuerda que dada una ecuación ax + by = c, otra equivalente 
(con las mismas soluciones) se puede obtener multiplicando toda la ecuación por un número 
distinto de cero. Así las siguientes ecuaciones tienen las mismas soluciones 
2x + y = 1, 10x + 5y = 5, 4x +2y = 2

Para aplicar el método de reducción se multiplicarán las dos ecuaciones o una de ellas por un 
número conveniente de manera que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente cambiado 
de signo en las dos ecuaciones. 
1. Se elige la incógnita (la que te parezca más fácil) 
2. Se hace que los coeficientes de dicha incógnita en las dos ecuaciones sean opuestos. 
3. Se suman las dos ecuaciones quedando una ecuación con una incógnita que se resuelve. 
4. Se sustituye en cualquiera de las dos ecuaciones. 
Ejemplo:

6.PROBLEMAS
Ejercicios y problemas de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas
Ejercicios de sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas